Парадокс двух конвертов
Aug. 20th, 2009 01:08 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
darth_vasyaПомнится, какое-то время назад в бредленте был локальный всплеск всяких парадоксов и задачек про вероятности (типа викторины с тремя дверьми и т.п.). А тут вот рассказывают про товарищей, которые предлагают выигрышную стратегию игры в два конверта:
http://science.compulenta.ru/450878/
Любопытненько-с.
http://science.compulenta.ru/450878/
Любопытненько-с.
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2009-08-20 11:00 am (UTC)no subject
Date: 2009-08-20 11:03 am (UTC)"Is Parrondo's paradox really a "paradox"? This question is sometimes asked by mathematicians, whereas physicists usually don't worry about such things. The first thing to point out is that "Parrondo's paradox" is just a name, just like the "Braess paradox" or "Simpson's paradox." Secondly, as is the case with most of these named paradoxes they are all really apparent paradoxes. People drop the word "apparent" in these cases as it is a mouthful, and it is obvious anyway. So no one claims these are paradoxes in the strict sense. In the wide sense, a paradox is simply something that is counterintuitive. Parrondo's games certainly are countertuitive—at least until you have intensively studied them for a few months. The truth is we still keep finding new surprising things to delight us, as we research these games. I have had one mathematician complain that the games always were obvious to him and hence we should not use the word "paradox." He is either a genius or never really understood it in the first place. In either case, it is not worth arguing with people like that."
no subject
Date: 2009-08-20 11:32 am (UTC)no subject
Date: 2009-08-20 12:33 pm (UTC)no subject
Date: 2009-08-20 11:47 am (UTC)В тех постановках, которые я нашел в Интернете, не предлагается вскрывать конверт. Предлагается его просто выбрать, а дальше тебе предлагают его поменять.
Наверное, журналисты что-то перепутали...
no subject
Date: 2009-08-20 12:35 pm (UTC)no subject
Date: 2009-08-20 12:35 pm (UTC)no subject
Date: 2009-08-21 09:08 am (UTC)Полночи вчера убил на этот сраный парадокс! :)
Выводы следующие:
1) Васич - нехороший человек;
2) парадокс интересен только тогда, когда, игрок заранее знает статистическое распределение конвертов. Действительно, если игрок с ним не знаком, то у него нет шансов посчитать матожидание (на это, собственно, и в Википедии указано), а парадокс основан именно на этом подсчете;
3) я пришел к выводу, что все шаги 1-7 (см. Википедию) корректны (если учесть, что игрок знаком с распределением конвертов);
4) 8-ой шаг некорректен. Любопытно, что такой шаг возникает только в случае, когда матожидание не ограничено. Во всех остальных случаях после шага 7 не удается сделать шаг 8 - и парадокса не возникает.
НО! Я не могу "по науке" обосновать некорректность шага 8. "По бытовухе" понятно: нефиг пользоваться неограниченным матожиданием. Однако четко обосновать не могу :(((((
Проанализировал вариант парадокса со вскрытием конверта. Здесь все зависит от конкретного статистического распределения (которое, как выяснилось, игрок должен знать заранее, иначе парадокса не возникнет). В некоторых случаях вскрытие конверта влияет на открытие конверта, в некоторых - нет. Вот, например, случай, когда вскрытие одназначно определяет необходимость (или отсутствие) обмена: (4,8) (32,64) (256,512) и т.д., т.е. каждая сумма может встречаться только в одном сочитании конвертов (если тебе выпала сумма "8", ты знаешь, что конверта (8,16) не существует).
решение
Date: 2009-08-22 12:12 am (UTC)Постановка задачи:
Имеется распределение R(x1) случайной величины x1 на [0, бесконченость] .
Задана функция: x2 = F(x1) над [0, бесконченость] .
расчитать мат.ожидание M(x2) = G(R,F) как функцию от распределения x1 и функции F.
Рассмотрим случай:
R(x1) - неопределена. - ответ: недостаточно данных, для любых умозаключений. парадокса нет. И этот случай кстати, не является тем, который рассматривают в этой задаче.
В другая трактовка задачи (приближение 1):
R(x1) = равномерно на [0, C]
F(x1) = {x1*S или x1/S} на [0, C*S], где S - константа известная игрокам заранее.
Монетная интерпретация данных условий – я даю Вам случайные суммы от 0 до С. Вы можете забрать сумму или мы бросаем монету. Если орел – сумму увеличиваем в S раз. Решка – уменьшаем в то же количество. Сколько выиграет стратегия обмена, а сколько – стратегия отказа от бросания монеты?
Решение:
M(x1) = C/2;
M(x2) = (C/2)*(S + 1/S)/2;
в частности при C = 100, S = 2, F(x1) на [0, 1000] и
M(x1) = 50
M(x2) = 50*(2+1/2)/2 = 62,5
Следовательно в этом случае совершенно очевидно что конверты менять нужно всегда. Очевидно, что распределение во втором конверте при таких условиях не является равномерным при S не равной 1. Следует отметить, что такие условия конечно же не подходят для анализа случая из нашего парадокса, ибо во-первых:
x1 и x2 распределены 1.одинаково, 2.равномерно и 3.на одном и том же множестве. Что ж попробуем подобрать более подходящие условия:
Условия (приближение 2):
R(x1) = не известно. Однако на [0, C].
F(x1) = {x1*S или x1/S} на [0, C].
Задача: найти R(x1), M(x1), M(x2).
Решение: вот теперь мы рассматриваем именно ту задачу. не так ли? Мы можем воспользоваться результатами предыдущей задачи. Предположим, что случайно берется x1, затем, вычисляется x2 и предлагается случайно либо x1 либо x2. Каково мат.ожидание такого первого числа? Конечно же – M(x1) + M(x2) на 2 = (50 + 62.5)/2 = 56,25 и распределена это число будет на [0, C*S] конечно же неравномерно, однако… мы на него посмотрели, и выбрали другое. Но у того – точно такое же мат ожидание и распределение!!
Проверим еще раз, все ли соответствует условиям задачи?
1. Одно число больше другого в S раз. – верно.
2. В двух конвертах числа уже известны организаторам. А нам только одно.
3. Мы не знаем границы распределения.
4. Испытание проводиться один раз. Для проведения нового испытания организаторы заранее выбирают новые границы.
5. Конечно, закон выбора границ распределения имеет место. Если, к примеру мы увидим, этим границы (с помощью статистических методов) то там где число будет достаточно большим, мы будем оставлять его себе, а если оно будет маленьким то менять.
6. Весь парадокс заключается в том, что организаторы не могут придумать распределение на бесконечной оси. Оно будет ограничено
Теперь, становиться понятно, что приводило в замешательство математиков долгие годы!!! Как же можно рассматривать распределение величин по отдельности? Ведь они изначально «связаны» между собой.
Можно поздравить самих себя с тем, что мы наконец-то нашли выход из этих каверзных ловушек!
А если не понятно, то в этом парадокс и заключается :)
Сейчас уже и в русской википедии появилось внятное объ
Date: 2009-09-05 10:33 am (UTC)И другое серьёзное обсуждение задачки возникло в блоге http://my-tribune.blogspot.com/2009/08/blog-post_27.html
Re: Сейчас уже и в русской википедии появилось внятное о
Date: 2009-09-05 11:26 am (UTC)Re: Сейчас уже и в русской википедии появилось внятное о
Date: 2009-09-05 12:03 pm (UTC)Зачем же сразу отказываться от рассмотрения вопроса "как бы побольше заработать в этой игре"? Есть тактики, позволяющие в некоторых условиях добывать больше денег, чем при случайном вытягивании конвертов. И это прямо относится к парадоксу двух конвертов.
Поэтому логично эти вопросы осветить в соответствующей статье википедии :)
no subject
Date: 2010-09-11 06:26 pm (UTC)http://synset.com/ru/Парадокс_двух_конвертов
no subject
Date: 2010-09-12 05:06 pm (UTC)no subject
Date: 2010-09-25 08:30 am (UTC)http://burykind.blogspot.com/2010/09/blog-post.html
Интересно Ваше мнение :)